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预期相对波动率下的Beta交易策略分析
2018-01-22 06:16:27   来源/作者:期货日报   评论:0


A Beta对冲回顾

一般来说,对冲交易者会在投资组合建立两个期货头寸,手数分别是Qs和Qf,对应的价格波动率为σ2s和σ2f,协方差为σsf,所以投资组合的方差为   

假设对冲比例为<Z:\KT2018\180122c01.tif>,代入上式,可以获得多元方程式

为了让Var(P)取到最小值,通过观察上面的方程可以发现,只要θ的偏导数为零,就可以取到极小值。 与此同时,Beta交易策略也存在一些缺陷。一是该策略仅考虑风险最小化,忽略了风险与回报。

   

图为预期收益和风险
   
当θ=0的时候,无对冲,风险就是sigma(s),P1;当θ=1的时候,完全对冲,风险就是sigma(s),P2;当θ等于最优系数的时候,部分对冲,风险最小就是sigma(s),P3;当θ等于其他数值的时候,部分对冲,风险就是sigma(s),P4,对应风险回报最大。
   
二是样本之间相关性不是稳定的,这就造成对冲系数失效。如果限定于某个Beta值,随着数值的变化,特别是在行情上涨过程中,对冲效果会很差。
   
现在对当θ等于其他数值的时候,风险回报最大,进行探讨。首先引入隐含最优解,即当前是风险最优解,结合后期的行情走势和Beta的均值回归特性,可以得到隐含超额回报,使之前的Beta(0)相对于t时刻为最优解,同时在零时刻,风险最小,这就是我们想找到的θ。

B假设检验

假设预期相对波动率回升或下降,将导致未来市场价格下跌或上涨。以农产品为例,X为豆油,Y为棕榈油。首先,两者的功能相似,可替代性很强;其次,合约设计和交易规则很类似,活跃合约日期相同,为市场最流行的对冲品种,两者的相关性极高为0.97。
  

图为棕榈油和豆油期货收盘价
   
总体样本取自2011年8月至2017年12月,通过采用移动Beta的方式计算。首先,考虑到进入交割月份的价格会出现异常波动,所以不选取1月、5月、9月时期的数据;其次,根据每个合约的活跃时间段不同,把2011年到2017年的合约按照时间序列排列,保证全年的交易合约都为主力合约;最后,统计归类1月、5月、9月合约,将活跃交易日期按照时间序列排列,总共有1597个有效数据。如果合约之间不交叉,没有移仓换月的情况,即用5月合约开仓,在9月合约的时候平仓,来评估组合表现。
   

图为Beta的走势

图为Beat的分布
   
通过公式Beta(MV20)= cov(x,y)÷sigma(y)2进行统计,其中MV20为移动20个样本,Beta(MV20)为以移动20个样本算出的Beta作为组合的系数,得出上图Beta走势。
   
通过统计发现Beta有如下特点:一是均值回归,Beta有高点和低点,但一直都围绕在均值附近波动;二是非对称性,Beta主要集中在均值以上,出现极低值的可能性大于极高值;三是延续性,当Beta处于低值范围时,这个趋势会持续一段时间。
   
接下来我们利用均值回归的特点,对处于极值范围的Beta进行操作,结合投资组合,构建隐含最优解,其中对冲系数为β,多1手X合约,空β手Y合约。在选定的投资时间范围内,0为第一次开始入场时间,t为合约活跃最后的日期,得出以下公式:
 
 0时刻的投资组合为P=X(0)-Beta(0)×Y(0)     (1)
   
t时刻的隐含组合为P’(t)=X(t)-Beta(t)×Y(t)  (2)
   
通过将(2)-(1)的结果进行分拆,剥离和修改(推导过程省略)得出核心部分[Beta(t)-Beta(0)]×[Y(t)-Y(0)]   (3)。
   
由于均值回归特性,当Beta(0)越小,[B(t)-B(0)]>0的可能性越大,同时0-t时刻内行情上涨,即Y(t)>Y(0),才有隐含超额回报(少亏损部分)即(3)>0;当Beta(0)越大,则[B(t)-B(0)]<0的可能性越大,同时0-t时刻内行情下跌,即Y(t)<Y(0),才有隐含超额回报(多盈利部分),即(3)>0。


C 样本测试

Beta值96%的数据集中在1.85—0.3之间,最大值为2.24,最小值为0.012。由于处于均值附近的Beta值方向不确定性较高,所以如果交易在Beta的高值区域和低值区域,均值回归的效果会很好。
   
根据数据的分布特点,我们定义高值范围在2.24—1.53之间,样本数为92/1597;低值范围在0.335—0.012之间,样本数为97/1597。
   
在低值范围时,每个合约出现的第一个低值信号作为交易开仓信号,随后出现的低值信号则不计入统计结果,总共有19个合约样本。
   
具体表现为,有信号代表低值出现时,预期[B(t)-B(0)]>0,如果对应未来趋势上涨就会出现隐含超额回报,或者无低值出现时,对应未来行情趋势为下跌,则为有效。综合两个情况,统称为有效。无效的情况就是出现低值,但后期行情趋势下跌或者失去交易机会,统称无效。统计结果如下:

表为低值范围下的交易统计
   
从以上结果来看,有效概率为12/19,无效概率为7/19。结论是利用低值范围交易,收益大于等于零的概率为(12+1)/19=68%。
   
在高值范围时,每个合约出现第一个高值信号作为交易信号,随后出现的高值信号则不计入统计结果。其中,第10个样本特殊,出现两次信号,需要计入考虑。总共有20个合约样本。
   
具体表现为,有信号代表低值出现时,预期[B(t)-B(0)]<0,如果对应未来趋势下跌,就会出现隐含超额回报;如果没有高值出现,对应未来趋势为上涨,则为有效。综合两个情况,统称为有效。无效的情况就是出现高值,但后期趋势上涨或失去交易机会,统称无效。统计结果如下:

  

表为高值范围下的交易统计
   
整体来看,有效概率为13/20,无效概率为7/20。在利用高值范围交易的时候,收益大于等于零时,概率为(13+6)/20=95%。
   
通过以上测试的结果总结,在利用高值范围交易的时候,给出的信号比较谨慎,失去投资机会的概率为30%,但对应的有效概率为65%,总体收益大于零的概率为95%,总体交易效果较好。然而,在利用低值范围交易的时候,低值范围的交易效果不是很明显。

D 理论分析

下面通过理论分析预期相对波动率和未来行情的关系。根据数学推导σx/σy为主的相对波动率,β= cov(x,y)÷σ2y= correlation(x,y)×σx/σy。 通常X和Y之间的相关性稳定,所以这里假设相关性为常数,当β处于高值时,意味着Y相对于X的波动率过低,需要增加Y的手数来弥补过低的波动率,以让投资组合的风险降低。
   
这里要特别强调一点,Beta可以理解为两个资产价格相对波动率的变化程度。当Beta达到高值范围,由于均值回归的特点,预示着Y相对X的波动率有反转,即Y的波动率回升。也就是说,Y的预期风险增加,后期对Y市场的恐慌情绪加重,所以Y的价格通常会出现下跌。
   
下面我们举两个例子说明一下,例一是棕榈油价格和价格波动率总体背离不明显,相对波动率最有效。

图为棕榈油价格与价格波动率
   
通过棕榈油价格与价格波动率走势可以发现,两者在年初的背离关系最为明显,但通过交易,绝对波动率的效果不是太好,因为回归系数仅为-0.06。目前豆油和棕榈油的价差交易在国内市场十分盛行,绝对波动率的情况可以说明资产所处的环境,但不能排除市场性波动率过低或过高的情况。因此,选定一个对冲品种为标准,来评价相对波动率,可以更好地衡量资产所处的状态。
   
例二是恐慌指数(VIX)与标普500指数的负相关性明显。
  

图为恐慌指数(VIX)与标普500指数
   
大量的研究已经证明,VIX指数和股票指数之间呈现负相关关系。2008年的金融危机导致标普500指数悬崖式下跌,VIX瞬间走高,表现十分敏感,当VIX迅速走高至80多的时候停止增长,这预示着后市波动率会反转,此时已经是2008年年底了。随后的波动率如期反转,预示着风险消散,股票指数在2009年一季度吹响了上涨的号角,截至今日,指数创历史新高,是2009年低点时的4倍左右。目前波动率处于低值区域,预示着后期的风险到来。我们预言,2018年的股票指数出现回调的可能性极大。
   
综合以上分析,这里的预期相对波动率与恐慌指数类似,反映了投资者对未来市场波动性的预期。当指数慢慢走高时,说明未来股价波动越剧烈;当波动率指数越走越低时,意味着未来的股价波动趋于缓和。根据行为金融学理论,下跌行情时,人们的情绪容易出现极端恐慌,所以伴随较高的价格波动率,而人们对于上涨行情抱有谨慎态度,所以上涨过程中,通常伴随着较小的价格波动率。总之,预期价格的相对波动率回升,预示着未来风险的到来,价格将大概率出现下跌。相反,预期价格相对波动率下跌,预示着风险消失,价格将很可能出现上涨。

海通期货 薛振华 艾若曦

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